Introduction aux Réseaux de Petri  

INTRODUCTION   AUX   RÉSEAUX   DE   PETRI 

Université Paul Sabatier — Toulouse III

Institut Universitaire Professionnalisé d’Ingénierie des Systèmes Informatiques 
 

Cours (12 heures) 

Ronan Champagnat

—

LAAS-CNRS

—

Tél : 0 561 336 416

E-mail : champa@laas.fr 

Février 1999

Introduction aux Réseaux de Petri  

SUJET DU COURS 

Les réseaux de Petri en quelques mots

Classe d'outils de modélisation mathématique et graphique de systèmes

Hypothèse d'un espace d'état discret

Objectif de maîtrise du parallélisme et du partage des ressources

Atout : lisibilité graphique

Application lorsque notions d'événements et d'évolution simultanée

Utilisation en recherche dans le domaine des sciences pour l'ingénieur informatique, automatique, sûreté de fonctionnement, télécommunications

Utilisation de plus en plus fréquente dans l'industrie

Un modèle, pour quoi faire ?

Représentation abstraite du fonctionnement d'un système

Spécifier, concevoir, tester (simuler)

Analyser

Introduction aux Réseaux de Petri  

PLAN DU COURS 

Première partie  De l'observation à la modélisation

Étude d'un exemple de système élémentaire

Recherche d'un modèle de comportement

Deuxième partie  Définitions et notations

Éléments de théorie des réseaux de Petri

Structures de base pour la modélisation

Graphe des marquages accessibles

Troisième partie Analyse des réseaux de Petri

Propriétés dépendant de la structure et du marquage initial

Propriétés structurelles

Introduction aux Réseaux de Petri  

PREMIÈRE   PARTIE 

AU  FEU ! 

De l'observation à la modélisation 

Étude d'un exemple élémentaire

Système de pompiers faisant la chaîne pour éteindre un incendie

Introduction aux Réseaux de Petri  

Principe et objectifs de la modélisation 

Principe : représentation abstraite d'un système

Identification du système

Structure : 3 pompiers (sous-systèmes) en chaîne

Entrée : pompe à eau (débit donné)

Sortie : eau projetée (débit discontinu)

Utilisation d'un outil formel de modélisation

Admission d'hypothèses simplificatrices

Objectifs

Spécifier et/ou concevoir le système

Simuler son comportement

Évaluer ses performances théoriques  

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

Observation du comportement du système 

Comment représenter le système ? 

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

Diagramme espace - temps 

Hypothèses de modélisation

Quelles classes de fonctions ?

(quels sont leurs paramètres ?)

Recherche d'un modèle

Les courbes importent-elles ?

(quels sont les points importants ?) 

temps 

Pompier 1 

Pompier 2 

Pompier 3 

pompe 

maison 

chemin 

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

Discrétisation du diagramme espace - temps 

Identification discrète des états

Intérêt : états dénombrables

Changements d'états = événements

Discrétisation événementielle du temps

Événement  repère temporel

Deux hypothèses

Événts instantanés

Événts indép. asynchr.

Historique des événemts 

temps 

Pompier 1 

Pompier 2 

Pompier 3 

apporte 

arrose 

remplit 

revient 

échangent 

échangent 

apporte 

revient 

revient 

apporte 

remplit 

pompe 

maison 

échangent 

chemin 

apporte 

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

Historique du comportement  

Espace d'état du système

C'est l'ensemble des états accessibles

4 états par pompier     64 combinaisons

Certaines combinaisons impossibles (états inaccessibles)

Recherche des états accessibles (sans les contraintes temporelles) par simulation 

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

Simulation du comportement 

Qu'est-ce-qu'un graphe ?

Structure G = (X, U)      X : ens. fini de sommets xi     U : famille d'arcs (xi , xj )

cf. théorie des graphes

Graphe d'occurrence des états du système

X = ensemble des états du système

(xi , xj ) U   ssi xj  est direct. accessible depuis xi    (24 états accessibles différents)

Fermeture   graphe fortement connexe 

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

Premier modèle du comportement : 
automates à états finis 

Qu'est-ce qu'un automate ?

Automate associé au graphe d'état

État courant = sommet marqué

Événements associés aux arcs

cf. théorie des automates 

P 

V 

P 

E 

E 

P 

V 

P 

P 

R 

P 

P 

P 

P 

P 

P 

V 

A 

E 

E 

A 

V 

P 

A 

R 

P 

A 

P 

P 

A 

P 

V 

V 

E 

E 

V 

V 

P 

V 

R 

P 

V 

P 

P 

V 

V 

E 

E 

R 

E 

E 

P 

E 

E 

V 

V 

P 

R 

V 

P 

V 

V 

A 

R 

V 

A 

V 

V 

V 

R 

V 

V 

marque  

(état courant) 

P 

=  

apporte 

(seau plein)  

V 

=  

revient 

(seau vide)  

A 

=  

arrose 

R 

=  

remplit 

E 

,    =  

échange 

(v.p. p.v.) 

E 

Quel est l'état suivant ? 

  Inconvénients du modèle

Modèle « à plat »

Modèle non modulaire 

Explosion combinatoire du nombre d'états 

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

Deuxième modèle du comportement : 
réseaux de Petri  
 

Structuration par sous-systèmes

Pompier = automate à états finis

Quel fonctionnement global ?

Communication entre  sous-systèmes

Synchrone : fusion (ou ajout) de transitions

(Asynchrone : ajout (ou fusion) de places) 

Réseau de Petri (RdP) 

Première partie : de l'observation à la modélisation 

P 

V 

R 

E 

V 

P 

E 

E 

P 

V 

E 

A 

Pompier 1 

Pompier 2 

Pompier 3 

¶ 

· 

¸ 

¹ 

½ 

¼ 

· 

¶ 

º 

» 

¼ 

½ 

R 

¸ 

¹ 

º 

» 

¼ 

½ 

¶ 

· 

V 

P 

V 

P 

V 

P 

E 

E 

A 

E 

E

Introduction aux Réseaux de Petri  

Modèle réseau de Petri 

Structure

Places

Transitions

Arcs toujours mixtes (alternés) 

Dynamique

état = distribution de marques (jetons) dans les places

évolution indéterministe :

transition(s) sensibilisé(s) si places amont marquées 

Première partie : de l'observation à la modélisation 

apporte 

apporte 

revient 

revient 

apporte 

revient 

t 

1 

t 

2 

t 

3 

t 

4 

t 

5 

t 

6 

t 

7 

t 

8 

j 

échangent 

arrose 

remplit 

échangent 

transition 

place 

marque 

transitions sensibilisées 

P1 

P4 

P3 

P6 

P2 

P9 

P7 

P5 

P10 

P8 

P12 

P11

Introduction aux Réseaux de Petri  

Analyse du modèle 

Théorie des réseaux de Petri

1962 : thèse de C. A. Petri ;    1998 : plusieurs milliers de publications

Outil mathématique : recherche universitaire + applications industrielles

Expression de relations entre les états d'un système et des événements

Analyse théorique de propriétés (vérification formelle d'un modèle)

Notions multidisciplinaires (d'automatique, d'informatique, de math. discrètes) 

Propriétés du modèle

Réseau réinitialisable

3 composantes conservatives    {p1,p2,p3,p4}, {p5,p6,p7,p8}, {p9,p10,p11,p12}

1 composante répétitive        {t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,t8} 

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

Enrichissements du modèle 

Extension du modèle de comportement du système 

Ajout de pompiers supplémentaires (en parallèle, en chaîne)

Explosion du graphe des marquages accessibles

Prise en compte du temps

Extension du modèle réseau de Petri

Prise en compte des aspects aléatoires

Durées temporelles stochastiques (par exemple définies par lois normales)

Modélisation d'aléas de fonctionnement (par exemple pompier qui chute)

Évaluation de performances par simulations de Monte-Carlo puis analyse statistique 

Première partie : de l'observation à la modélisation

Introduction aux Réseaux de Petri  

DEUXIÈME  PARTIE : définitions et notations 

Élements de théorie des réseaux de Petri

Définition

Règle de fonctionnement

Représentation matricielle

Séquence de franchissement

Structures de base pour la modélisation

Expression du parallélisme

Communication entre séquences parallèles

Expression des conflits

Expression du test d'une variable

Autres opérations sur les variables

Graphe des marquages accessibles d'un réseau

Introduction aux Réseaux de Petri  

Introduction à la théorie 

Un peu d'histoire

Origine : théorie des automates

1962 : thèse de Carl Adam Petri (professeur de physique à Hambourg)  « Kommunikation mit Automaten » (Communication avec les automates )

Années 70 : premiers travaux au MIT (W. Holt, F. Commoner et M. Hack)

Années 80 : recherche très active en Europe

Aujourd'hui : + de 5000 publications, deux congrès internationaux annuels

Un vaste champ théorique 

Théorie de base : réseaux de Petri autonomes (RdP)

Extensions (réseaux de Petri non autonomes) :

RdP interprétés

RdP temporisés,

RdP stochastiques,  

         RdP colorés,

         RdP prédicats-transitions,

         RdP à objets... 

Deuxième partie : définitions et notations

Introduction aux Réseaux de Petri  

Définition 

Structure d'un réseau de Petri

Un réseau de Petri R est un quadruplet : R = < P, T, Pre, Post >

P est un ensemble de places

T est un ensemble de transitions

Pre : application d'incidence avant  Pre : P x T  N

Post : application d'incidence arrière Post : P X T  N

Pre (p, t) = 0, signifie qu'il n'y a pas d'arc entre la place p et la transition t

Réseau marqué

Un réseau marqué est une paire N = < R, M >

R est un réseau de Petri

M est le marquage initial  M : P  N

M(p) = nombre de marques (jetons) contenues dans la place p 

Deuxième partie : définitions et notations 

X 

U

Introduction aux Réseaux de Petri  

Règle de fonctionnement 

Référence de fonctionnement de tout réseau de Petri

Transition sensibilisée (franchissable)

Si  pP,   M(p)  Pre(p,t)  alors t est sensibilisée par M

Franchissement (tir) d'une transition t depuis un marquage M

Pré-condition : ds toute pl. amont p de t , consommation de Pre(p,t) jetons

Post-condition : dans toute pl. aval p de t, production de Post(p,t) jetons

Nouveau marquage M' :      pP,    M' (p) = M (p)  Pre(p,t)  Post(p,t)

Propriétés primitives du tir

Atomicité (pas de chevauchement)

Asynchronisme (un seul à la fois)

Indéterminisme (aucune règle de choix)

Aucune mesure temporelle (seul l'ordre compte) 

Deuxième partie : définitions et notations 

3 

5 

2 

p 

1 

t 

p 

2 

p 

3 

p 

4 

p 

5 

M 

M' 

marquage  

initial 

marquage  

final

Introduction aux Réseaux de Petri  

Représentation matricielle 

Notations d’algèbre linéaire

P = {p1,...,pm}, T = {t1,...,tn} ensemble de départ finis notations matricielles

Matrice d'incidence du réseau :     C = Pre + Post

Transition sensibilisée

                   p M(p)  Pre(p, t)

                  ou M  Pre(·, t)

Franchissement d'une transition

M' = M - Pre(·, t) + Post(·, t) 

Deuxième partie : définitions et notations 

Pre 

t 

1 

t 

i 

t 

n 

p 

1 

M 

p 

j 

L 

Pre 

( 

p 

j 

, 

t 

i 

) 

p 

m 

Post 

t 

1 

t 

i 

t 

n 

p 

1 

M 

p 

j 

L 

Post 

( 

p 

j 

, 

t 

i 

) 

p 

m 

M 

p 

1 

p 

j 

M 

( 

p 

j 

) 

p 

m

Introduction aux Réseaux de Petri  

Séquence de franchissement 

Relation d'accessibilité dans un RdP

Si M' est produit depuis M par franchissement de t, on note :     M  M'

Transitivité : si  M  M'  et si  M'  M'' , on pose s = t1t2     et   M  M''

s = séquence de franchissement

Toute trans.= séquence de longueur 1

Si M  M' alors M' = M + Cs (équation fondamentale des réseaux de Petri)

        s = vecteur dont les composantes, s(t), sont le nombre d’occurrence des transitions dans la séquence de franchissement

s n'exprime pas l'ordre des transitions

Non réciprocité (M' = M + Cs        M  M')  

Deuxième partie : définitions et notations 

t1 

t2 

s 

t 

s 

s

Introduction aux Réseaux de Petri  

Expression du parallélisme 

Notions de base

Notation : Pre(. ,t) colonne t de la matrice Pre (vecteur des pré-cond. de t )

Parallélisme structurel entre t1 et t2 ssi  Pre(. , t1)T . Pre(. , t2) = 0      t1 et t2 n'ont aucune place d'entrée commune 

  Représentation graphique

  Remarques :

Parallélisme « absolu » : t1 et t2  à deux sous-struct. non connexes de  R

Possibilités de communications 

Deuxième partie : définitions et notations

Introduction aux Réseaux de Petri  

Communication entre séquences parallèles 

  Départ synchrone 

  Rendez-vous (synchrone) 

  Lecture 

  Sémaphore

    (asynchrone) 

Deuxième partie : définitions et notations

Introduction aux Réseaux de Petri  

Expression des conflits  

Notions de base

Conflit entre t1 et t2 ssi :

  p P,  Pre(p,t1).Pre(p,t2)  0 (t1 et t2 ont au moins une place d'entrée commune)

t1 et t2  tirables mais le tir de l'une peut invalider l'autre

Nécessité de faire un choix (résolution non spécifiée par la règle de fonct)

Complexité de la notion de conflit 

p 

1 

p 

2 

t 

2 

t 

1 

t 

3 

Deuxième partie : définitions et notations 

p 

1 

p 

2 

p 

3 

p 

4 

t 

2 

t 

1 

t 

3 

M  Pre(. ,t1) 

M  Pre(. ,t2) 

 

Conflit à choix libres 

Conflit à choix libre généralisé 

Cas de confusion :

Non transitivité de la relation être en conflit

Introduction aux Réseaux de Petri  

Expression du test d'une variable 

Structure de base

Boucle élémentaire entre  p (la var.) et t avec Pre(p,t) = Post(p,t) = 

Si t franchie, alors p

Ambiguïté de la boucle élémentaire

Non visibilité dans la matrice d'incidence C (valeur 0)

Deux interprétations : lecture sans perturb. ou consommation/production

Problème du test à zéro

Si la borne (valeur maxi.)   de p est connue,         test de sur la place complémentaire de p               p' complémentaire de p ssi pour toute t T,                       Pre(p',t) = Post(p,t)   et   Post(p',t) = Pre(p,t)

Sinon, extension de la théorie  (RdP à arcs inhibiteurs) 

Deuxième partie : définitions et notations

Introduction aux Réseaux de Petri  

Autres opérations sur des variables 

  Incrémentation    décrémentation 

  Test d'égalité (p =) 

  Affectation (p :=) 

  Mise à zéro (p :=) 

Deuxième partie : définitions et notations 

si p'  complémentaire à p 

Les réseaux de Petri sont peu pratiques pour modéliser ces opérations

Introduction aux Réseaux de Petri  

Graphe des marquages accessibles d'un réseau 

Ensemble des marquages accessibles

Aucun sens sans la donnée du marquage initial M0

A(R,M0) = {M Nm   s T*,  M0 M }   avec m = card(P)

Structure de graphe  — noté A(R,M0)

Sommets : éléments de A

Arcs étiquetés par les transitions de R

Lien entre un RdP et son graphe des marquages accessibles

Propriétés remarquables de G  propriétés remarquables du RdP

Finitude de A(R,M0)     (R,M0) borné

Forte connexité de A(R,M0)   (R,M0) rénitialisable

Circuits dans A(R,M0)  composantes réptitives stationnaires de R

Problème de la taille de A (explosion combinatoire du nb. de marquages) 

s 

Deuxième partie : définitions et notations

Introduction aux Réseaux de Petri  

TROISIÈME PARTIE : 
 
Analyse des réseaux de Petri 

Propriétés dépendant de la structure et du marquage initial (« bonnes propriétés »)

Vivacité des transitions d'un réseau

Activité des marquages d'un réseau

Bornes des places d'un réseau

Propriétés structurelles

Invariant de place

Invariant de transition

Introduction aux Réseaux de Petri  

Généralités sur les propriétés des réseaux de Petri 

Expression des propriétés fondamentales des systèmes

Premières définitions dans le cadre de la théorie des RdP

Analogies avec d'autres sémantiques opérationnelles du parallélisme

Propriétés dépendant de la structure et du marquage initial

Activité du réseau :

existence de parties mortes (non-vivacité)

possibilités de blocages (non-quasi vivacité)

Possibilités de réinitialisation

Existence de bornes aux places (valeurs maxi. de marquages)

Propriétés ne dépendant que de la structure

Composantes conservatives (sommes pondérées de marq. constantes)

Composantes répétitives stationnaires (séqu. de franchiss. cycliques)  

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri

Introduction aux Réseaux de Petri  

Vivacité des transitions d'un réseau  

Transition vivante et quasi-vivante

t T est quasi-vivante ssi      s T*, M0  M’ et M’  Pre(., t)      À partir de M0, on peut aller franchir au moins une fois t

t T est vivante ssi      M A(R,M0), s T*, M  M’ et M’  Pre(., t)  Quel que soit le marquage M atteint, on peut toujours aller franchir t

Remarque :  t vivante pour M0  t vivante pour M'0 M0

Réseau vivant

(R,M0) est vivant ssi toutes ses transitions     sont vivantes

Interprétations

Principe : transition morte modèle erroné 

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri 

p 

1 

p 

2 

p 

3 

t 

1 

t 

2 

t 

3 

t 

4 

t 

5 

exemple : 

s 

s

Introduction aux Réseaux de Petri  

Activité des marquages d'un réseau 

Réseau réinitialisable

(R,M0) est réinitialisable ssi    M A(R,M0), s T*, M  M0

Blocage

M A(R,M0) est bloquant ssi  t T,  M < Pre(.,t)

(R,M0) est sans blocage ssi    M A(R,M0),  t T,  M  Pre(.,t) 

s 

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri 

Réseau vivant non réinitialisable 

Réseau

avec

blocage 

p 

1 

p 

2 

p 

4 

p 

3 

t 

1 

t 

2 

t 

3

Introduction aux Réseaux de Petri  

Bornes des places d'un réseau 

Place k-bornée

p P est k-bornée ssi     k N,  M A(R,M0),  M(p)  k

si  k = 1,  p est à marquage binaire (place sauve)

interprétation de p comme une variable booléenne

Réseau k-borné

(R,M0) est k-borné ssi toutes ses places sont au moins k-bornées    c'est-à-dire     k N,  p P, M A(R,M0),  M(p)  k

si (R,M0) est k-borné, alors A(R,M0) est fini

Interprétations

Principe : syst. physique limité RdP borné

Marqu.  accessible par  séqu. de franchiss.     évaluation de performance 

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri 

p 

3 

p 

2 

t 

1 

t 

2 

2 

2 

p 

1 

exemple : 

exemple :

Introduction aux Réseaux de Petri  

Méthodes de détermination des « bonnes propiétés » 

Écriture du graphe des marquages accessibles G(R, M0)

On énumère l’ensemble des marquages accessibles

Problème : lourd à mettre en œuvre lorsque la taille de l’ensemble des marquages accessibles devient grande

Analyse par réduction

Idée : trouver des règles de réduction telles que le réseau réduit conserve les « bonnes propriétés » du réseau à étudier, de façon à n’appliquer l’énumération des marquages accessibles qu’à des réseaux de taille raisonnable

Introduction aux Réseaux de Petri  

Invariant de place 

Composante conservative  (fonction linéaire de marquages cte)

Déf. 1 :  B P est une composante conservative de R ssi  f : PN tq :     et

Déf. 2 :  la fonction constante  M  f T .M  est un invariant de place

Prop. 1 :  toute place p de B est bornée quel que soit M0 Nm

Prop. 2 :  les composantes conservatives de R sont telles que     f T.C = 0

Réseau conservatif

Déf. 3 :  R est conservatif ssi P est une composante conservative               (s’il existe pour P une couverture de composantes conservatives)

Prop. 3 :   si R est conservatif, alors (R,M0) est borné quel que soit M0 Nm            (la réciproque est fausse) 

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri

Introduction aux Réseaux de Petri  

Invariant de transition 

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri 

Composante répétitive stationnaire (séq. de franchisst répétitive)

Déf. 1 :  S T est une comp. répétitive stationnaire de R ssi s : TN tq :   t S, s (t)   0  et  C.s = 0

Déf. 2 :  Si s est le vecteur caractéristique d’une séquence s, effectivement franchissable à partir d’un marquage accessible, alors s est un invariant de transition

Réseau répétitif stationnaire

Déf. 3 :  R est répétitif stationnaire ssi T est une comp. répétitive stationnaire (s’il existe pour T une couverture de composantes répétitives stationnaires)

Prop. 2 :     si  (R,M0) est borné et vivant, alors R est répétitif stationnaire       (la réciproque est fausse)

Introduction aux Réseaux de Petri  

Exemple (analyse intuitive) 

Composantes conservatives

Sous-réseau  {p1 , p2 , p3 }     M(p1) + M(p2) + M(p3) = cte(M0)

Sous-réseau { p3 , p4 , p5 }    M(pc) + M(pr) + 3M(pd) = cte(M0)

Couverture des places de R    réseau conservatif donc (R,M0) borné quel que soit M0 

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri 

p 

1 

p 

2 

p 

4 

p 

3 

p 

5 

t 

1 

t 

2 

t 

3 

t 

5 

t 

4 

3 

3 

Composantes répétitives stationnaires

Sous-réseau  { p1 , p2 , p3 }          s1 = t1t2t3

Sous-réseau { p4 , p5  }       s2 = t4t5

Couverture des transitions de R       réseau répétitif (ne suffit pas pour conclure qu’il est vivant)

Introduction aux Réseaux de Petri  

Exemple (analyse algébrique) 

Calcul des composantes conservatives

On cherche l'ensemble des solutions f N5 telles que f T.C = 0

3 équations linéairement indépendantes    2 ( = 53) composantes conservatives

2 invariants de place  f1 M(p1) + f2 M(p2) + f3 M(p3) + f4 M(p4) + f5 M(p5)  = cte(M0) 

f 

1 

f 

2 

f 

3 

f 

4 

f 

5 

[ 

] 

- 

1 

0 

+ 

1 

0 

0 

+ 

1 

- 

1 

0 

0 

0 

0 

+ 

1 

- 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

+ 

1 

- 

1 

0 

- 

1 

+ 

1 

- 

3 

+ 

3 

= 

0 

Û 

- 

f 

1 

+ 

f 

2 

= 

0 

- 

f 

2 

+ 

f 

3 

- 

f 

5 

= 

0 

f 

1 

- 

f 

3 

+ 

f 

5 

= 

0 

f 

4 

- 

3 

f 

5 

= 

0 

- 

f 

4 

+ 

3 

f 

5 

= 

0 

f 

1 

= 

f 

2 

f 

1 

+ 

f 

5 

= 

f 

3 

f 

4 

= 

3 

f 

5 

Þ 

f 

1 

1 

f 

2 

1 

f 

3 

1 

f 

4 

0 

f 

5 

0 

et 

f 

1 

0 

f 

2 

0 

f 

3 

1 

f 

4 

3 

f 

5 

1 

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri

Introduction aux Réseaux de Petri  

Exemple (analyse algébrique) 

Calcul des composantes répétitives stationnaires

On cherche l'ensemble des solutions s N5 telles que C.s = 0

3 équations linéairement indép.    2 ( = 53) composantes conservatives

Recherche de 2 inv. de transitions (séq. répét. stat.) de proche en proche 

Troisième partie : analyse des réseaux de Petri 

s 

1 

= 

s 

2 

s 

1 

= 

s 

3 

s 

4 

= 

s 

5 

Þ 

s 

1 

1 

s 

2 

1 

s 

3 

1 

s 

4 

0 

s 

5 

0 

et 

s 

1 

0 

s 

2 

0 

s 

3 

0 

s 

4 

1 

s 

5 

1 

- 

1 

0 

+ 

1 

0 

0 

+ 

1 

- 

1 

0 

0 

0 

0 

+ 

1 

- 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

+ 

1 

- 

1 

0 

- 

1 

+ 

1 

- 

3 

+ 

3 

s 

1 

s 

2 

s 

3 

s 

4 

s 

5 

= 

0 

Û 

- 

s 

1 

+ 

s 

3 

= 

0 

s 

1 

- 

s 

2 

= 

0 

s 

2 

- 

s 

3 

= 

0 

s 

4 

- 

s 

5 

= 

0 

- 

s 

2 

+ 

s 

3 

- 

3 

s 

4 

+ 

3 

s 

5 

= 

0

Introduction aux Réseaux de Petri  

Pour aller plus loin... 

Références bibliographiques

Initiation  R. David, H. Alla : « Du Grafcet aux réseaux de Petri »   deuxième édition, 1992, HERMES (Série Automatique)

Recherche Lecture Notes in Computer Science : « Advances in Petri nets »,  SPRINGER-VERLAG

Sur le Web

Home page de Robert Valette (LAAS)   http : //www.laas.fr/~robert

Cours polycopié 80 pages (fichier Post-Script)

Lien sur la page         « Welcome to the world of Petri nets »

what's new ?  (http://www.daimi.au.dk/~petrinet)

bibliography database (http://www.ec-lille.fr/~rdp)

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Troisième partie : analyse des réseaux de Petri